พีทาโกรัส

พีทาโกรัส คือ ทฤษฎีที่ว่าด้วยความสัมพันธ์ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยทฤษฎีกล่าวไว้ว่า

“กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉากที่เหลือทั้งสองด้าน”

ทีนี้เรามาดูกันว่าด้านแต่ละด้านที่พูดถึงคือด้านใหนกันบ้าง

พีทาโกรัส2

 

จากรูป

– ด้าน a เป็นด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก เราจะเรียกด้านนี้ว่า “ด้านตรงข้ามมุมฉาก”

– ด้าน b and c เป็นด้านทั้งสองด้านที่อยู่ติดกับมุมฉาก เราเรียกด้านพวกนี้ว่า “ด้านประกอบมุมฉาก”

 

จากทฤษฎีด้านบน เราสามารถเขียนเป็นสูตรการหาความยาวในแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามหลัก พีทาโกรัส (เมื่อสามเหลี่ยมมุมฉาก Right Triangle คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งเท่ากับ 90°)  ได้ดังนี้

 

พีทาโกรัส3

เมื่อ a เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก และ b และ c เป็นด้านประกอบมุมฉาก

** สูตรนี้สามารถใช้ได้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น**

ดังนั้นเราสามารถกล่าวได้ว่า

ถ้า b+ c = a2  สามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้า b+ c > a2  สามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม

ถ้า b+ c < a2  สามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน

————————————————————————————————————————–

ข้อควรรู้

จากทฤษฎีพีทาโกรัส มีเลขชุดพีทาโกรัสที่เป็นจำนวนเต็มที่น้องๆจะได้เจอบ่อยๆและควรรู้ไว้เพื่อการทำข้อสอบที่เร็วขึ้น ดังนี้ค่ะ

ด้านประกอบมุมฉาก 1 ด้านประกอบมุมฉาก 2 ด้านตรงข้ามมุมฉาก
3 4 5
5 12 13
7 24 25
8 15 17
9 40 41
11 60 61
12 35 37
20 21 29

*** เน้นย้ำไว้นะคะว่า หากน้องๆไปเจอเลขชุดสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่เป็นจำนวนเท่าของเลขข้างบน เราสามารถบอกได้ว่า สามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากได้ ตัวอย่างเช่น

พีทาโกรัส7

สามารถกล่าวได้ว่า สามเหลี่ยมรูปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจาก เมื่อนำ 5 มาหารความยาวด้านแต่ละด้าน ดังนี้

25 ÷ 5 = 5

60 ÷ 5 = 12

65 ÷ 5 = 13

หรืออาจกล่างได้ว่า สามเหลี่ยมรูปนี้มีอัตราส่วนความยาวด้าน เป็น 5 : 12 : 13 ซึ่งเป็นตัวเลขความสัมพันธ์ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากตามกฎของพีทาโกรัสนั้นเอง

————————————————————————————————————————–

ตัวอย่างการแก้โจทย์พีทาโกรัส

ตัวอย่างที่ 1. กำหนดให้สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีความยาวด้านทั้งสามดังนี้ 6, 8, 10  สามเหลี่ยมรูปนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่

วิธีทำ ข้อนี้เราสามารถหาคำตอบได้ 2 วิธีดังนี้

วิธีที่ 1 เนื่องจาก 6, 8, 10 เป็นเลขที่สามารถหารด้วย 2 ได้ทั้งหมดดังนี้

6 ÷ 2 = 3

8 ÷ 2 = 4

10 ÷ 2 = 5

เนื่องจากสามเหลี่ยมรูปนี้มีอัตราส่วนความยาวด้าน 3 : 4 : 5 เป็นตัวเลขความสัมพันธ์ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากตามกฎของพีทาโกรัส ดังนั้นสามเหลี่ยมรูปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

 

วิธีที่ 2 การตรวจสอบด้วยวิธีเลขยกกำลัง ดังนี้

6=  36  –> เมื่อ 6 เป็นความยาวด้านประกอบมุมฉาก

82 =  64  –> เมื่อ 8 เป็นความยาวด้านประกอบมุมฉาก

10= 100  –> เมื่อ 10 เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

เมื่อ 62 +  82 = 36 + 64 = 100 –> ซึ่งมีค่าเท่ากับ   102  ดังนั้นสามเหลี่ยมรูปนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

 ————————————————————————————————————————–

ตัวอย่างที่ 2 บันไดอันหนึ่ง ถ้าตั้งเอนไปทางทิศตะวันตก ปลายบันไดจะจรดกับเสาสูง 48 ฟุตพอดี แต่ถ้าตั้งเอนไปทางทิศตะวันออกปลายบันไดจะจรดกับเสาสูง 14 ฟุตพอดี ถ้าเสาสองต้นห่างกัน 62 ฟุต บันไดยาวกี่ฟุต

จากโจทย์ เราสามารถวาดรูปได้ดังนี้

พีทาโกรัส8

จากรูปจะเห็นว่า มีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากอยู่ 2 รูป โดยสมมติให้บันไดยาว “a”

พีทาโกรัส9

เนื่องจากบันไดยาวเท่ากันเท่ากับ “a”

จากทฤษฎีพีทาโกรัสสามารถเขียนสมการได้ดังนี้

จากสามเหลี่ยมรูปที่ 1 จะได้ว่า                48+  x= a2  ——–> สมการที่ 1

และ

จากสามเหลี่ยมรูปที่ 2 จะได้ว่า                14+  (62-x)= a2  ——–> สมการที่ 2

เนื่องจาก บันไดที่ใช้เป็นบันไดเดียวกัน (ความยาวเท่ากัน) นำสมการที 1 = สมการที่ 2 จะได้ว่า

                                                            48+  x2    =   14+  (62 – x)2

                                                            48+  x2    =   14+ (622 – 2(62)(x) + x2)  –> (จากสูตรกำลังสอง กำลังสองสัมบูรณ์)

                                                            48+  x2     =   14+ 622 – 124x + x2

                                                                     124x   =  14+ 62– 482   =   1736

                                                                            x  =  14

นำค่า X ที่ได้มาแทนค่าในสมการ (สมการ 1 หรือ 2 ก็ได้) เพื่อหาความยาวบันไดดังนี้

จากสมการ                                        482   +    x2    =   a2

แทนค่ะ x = 14 ในสมการ                  482   +    142    =   a2

                                                                      2500   =   a2

ดังนั้น a = 50 นั้นคือ บันไดมีความยาว = 50 ฟุต

 ————————————————————————————————————————–

ตัวอย่างที่ 3 จะต้องใช้เชือกยาวเท่าไร หากต้องการนำมาทำเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2 รูป โดยให้ด้านตรงกันข้ามมุมฉากยาว 25 นิ้ว และด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งอีกยาว 7 นิ้ว

พีทาโกรัส_4

กำหนดให้ด้านประกอบมุมฉากอีกด้านมีความยาวเท่ากับ X

จากทฤษฎีพีทาโกรัสจะได้ว่า

                                                                       25  =   X + 72

                                                                         X2   =    25– 72

                                                                         X2   =    576

                                                                          X    =    24

หากต้องการสร้างรูปสามเหลี่ยมตามเงื่อนไขโจทย์ 1 รูปจะต้องใช้เชือกยาวเท่ากับ (25 + 7 + 24) =  56 นิ้ว

ดังนั้นหากต้องการสร้างรูปสามเหลี่ยมตามเงื่อนไขโจทย์ 2 รูป จะต้องใช้เชือกยาวเท่ากับ 56 x 2 = 112 นิ้ว

————————————————————————————————————————–

28,278 total views, 60 views today

Share Button